Recta tangente a un círculo en un punto P sobre éste.
- Se llama punto de contacto o tangencia al punto en común entre una circunferencia y la tangente. En geometría la recta tangente es aquella que posee un punto en común con una curva. Una recta y una circunferencia pueden tener dos puntos, un solo punto o ningún punto en común.El punto de intersección es el punto de contacto o el punto de tangencia, como podemos ver es una línea que intercepta al círculo en un punto. Bibliografía.
- Creamos un círculo utilizando la opción 'circunferencia (centro, punto). Debemos poner un punto sobre este círculo, pero al momento de poner definitiva la circunferencia esto nos dejará el punto, el cual es "P".
- Creamos una semi-recta que pase del punto "A" al punto "P".
- Con la opción 'circunferencia (centro, punto)' la colocamos sobre el punto P, esta debe ser pequeña. (verde).
- Marcamos los puntos de intersección de esta nueva circunferencia con la semi-recta. Lo cual nos da el punto "C" y el punto "D".
- De nuevo seleccionamos 'circunferencia (centro, punto)', nos posicionamos sobre el punto C y la abrimos. Repetimos esto pero ahora sobre el punto D. (celeste).
- Marcamos los puntos de intersección de estás dos circunferencias, lo cual nos da los puntos "E" y "F".
- Seleccionamos la opción 'recta' y la creamos de manera que pase por los puntos E y F, al hacerlo, esta recta debe pasar por el punto P.
Recta tangente a un círculo desde un punto P fuera del círculo.
- Se llama punto de contacto o tangencia al punto en común entre una circunferencia y la tangente. En geometría la recta tangente es aquella que posee un punto en común con una curva. Una recta y una circunferencia pueden tener dos puntos, un solo punto o ningún punto en común.El punto de intersección es el punto de contacto o el punto de tangencia, como podemos ver es una línea que intercepta al círculo en un punto.
- Creamos una circunferencia.
- Ponemos un punto fuera de esta en el lugar que sea, se llamará "P".
- Creamos una recta que pase por el punto C y el punto P.
- Creamos una circunferencia, primero damos clic sobre cualquiera de nuestros puntos, ya sea C o P; lo abrimos de manera que sea más grande de la mitad entre el segmento que hay de C a P. Repetimos esto pero ahora damos clic sobre el punto restante y lo abrimos de manera de que esta nueva circunferencia se intersecte con la anterior. (Color gris).
- Marcamos los puntos de intersección entre estas dos circunferencias. Esto nos da los puntos E y F.
- Creamos un segmento que vaya del punto E al F.
- Ponemos un punto en donde este segmento se una con la recta. Este nuevo punto es G.
- Creamos una circunferencia haciendo centro en el punto G y la detenemos sobre el punto C o el P, el que sea está bien. (Rosa).
- Ahora marcamos los puntos de intersección entre esta última circunferencia y nuestro círculo. Serán los puntos H e I (color rosa más fuerte).
- Finalmente solo creamos rectas, una que pase por el punto H hasta P y otra que pase por el punto I hasta P.
Desigualdad del triángulo.
- Desigualdad del triángulo: La suma de las longitudes de cualesquiera dos lados de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.
- Creamos tres segmentos del tamaño que sea.
- Creamos una recta. Ocultamos los puntos que quedan sobre esta.
- Colocamos un punto sobre la recta (I)
- Seleccionamos la opción compás y después damos clic sobre el segmento más grande, esta circunferencia la colocamos sobre el punto I.
- Ponemos un punto en donde la recta y la circunferencia se intercepten (J).
- De nuevo seleccionamos compás, ahora damos clic sobre uno de los segmentos restantes (yo elegí el mediano), colocamos esta circunferencia sobre el punto J o el punto I, yo lo coloqué sobre el punto J.
- De nuevo seleccionamos compás, damos clic sobre el segmento restante (el más chico) y lo situamos sobre el punto que nos sobra (en mi caso, I).
- La circunferencia que situamos sobre el punto J y la que situamos sobre el punto I deben interceptarse, poner un punto ahí. (K)
- Ahora solo unimos con segmentos del punto J al K y del punto K al punto I.
Ya tenemos el triángulo. Desigualdad del triángulo. Construcción GeoGebra.
Para que se cumpla la desigualdad del triángulo la suma de los lados mas cortos tiene que ser mayor que la medida del lado más grande.
Reconstrucción de un triángulo por el caso ALA.
- ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos respectivos y el lado entre ellos.
1.-Hacemos un triángulo.2.-Elegimos la opción compás, damos clic sobre el segmento BC, ponemos esta circunferencia en cualquier parte, ponemos un punto en la circunferencia (E), unimos los dos E y D del círculo con un segmento.3.- Seleccionamos la opción 'circunferencia (centro, punto)' damos clic en el punto B y a continuación damos clic en cualquier parte del segmento BC y marcamos el punto de intersección del segmento AB con esta circunferencia.
4.-Nuevamente seleccionamos la opción compás y damos clic en el punto B, después en el punto F, y al último en el punto E, marcamos el punto de intersección del segmento con esta circunferencia (punto H).5.-Elegimos la opción compás y damos clic sobre el punto F, después sobre el punto G, y al último sobre el punto H, donde se intercepten estas circunferencias ponemos un punto (punto I).6.-Elegimos la opción 'semirrecta' y damos clic sobre el punto E y después sobre el punto I.7.-Elegimos la opción 'circunferencia (centro, punto)' y damos clic sobre el punto C, después damos clic en cualquier parte del segmento BC y marcamos el punto de intersección del segmento AC con la circunferencia.8.-Vamos a la opción compás y damos clic en el punto C, después en el punto J, y luego en el punto D, marcamos el punto de intersección del segmento con la circunferencia, esto nos da el punto L.
9.-De nuevo elegimos la opción compás y damos clic en el punto J, después en el punto K, y luego en el punto L, marcamos el punto donde se intercepten las circunferencias, esto nos da el punto M.
10.-Elegimos la opción semirrecta y damos clic sobre el punto D, después sobre el punto M.11.-Marcar el punto de intersección de las semirrectas.
12.-Damos clic izquierdo sobre una de las semirrectas y damos clic sobre 'objeto visible' y la semirrecta desaparece, repetimos esto con la otra semirrecta.
13.-Seleccionamos la opción 'segmento' y unimos el punto E con el punto N.
14.-De nuevo elegimos segmento y ahora unimos en punto N con el punto D.
Cambié el nombre del punto E a B_1.
El punto D es C_1.
El punto N es A_1.
Para comprobar ponemos las medidas de los ángulos del triángulo y de igual manera la medida de sus lados, las circunferencias pueden ser ocultadas.
Reconstrucción de un triángulo por el casi ALA. Construcción GeoGebra.
Reconstrucción de un triángulo por el caso LAL.
- LAL: Lado, ángulo, lado. Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus lados respectivos y el ángulo comprendido entre ellos.
Inciso a) 5, 90°, 5.
1.-Construimos un segmento con la medida del lado.
2.-Creamos una recta, al crear la recta nos quedarán dos puntos, estos los ocultamos.
3.-Ponemos un punto sobre la recta (E)
4.- Seleccionamos la opción 'compás' y damos clic sobre el segmento y a continuación situamos esta circunferencia sobre el punto E.
5.-Seleccionamos 'circunferencia (centro, punto) y damos clic sobre el punto E. La abrimos cuando queramos, pero que sea pequeña. Nos quedará un punto sobre la circunferencia, lo ocultamos.
6.-Marcamos los puntos de intersección entre esta circunferencia y la recta (puntos G,H).
7.-Ahora volvemos a seleccionar 'circunferencia' pero ahora damos click sobre el punto G y la abrimos, debe ser un poco más grande que la anterior (igual quedará un punto, lo ocultamos). Repetimos esto pero ahora damos clic sobre el punto H y la abrimos, esta circunferencia debe interceptarse con la que creamos recién, marcamos los puntos de intersección, (puntos K,L).
8.-Creamos una recta que pase por los puntos K,L. Esto nos da el ángulo de 90°.
9.-Marcamos los puntos de intersección de esta recta con la primer circunferencia que hicimos, y de igual manera, marcamos el punto de intersección de nuestra primer circunferencia con nuestra primer recta. (Puntos M,N)
10.-Unimos con un segmento el punto M con el N.
Ya tenemos nuestro triángulo de caso LAL.
Reconstrucción de un triángulo por el caso LAL. Construcción GeoGebra
El ortocentro, el baricentro y el circuncentro tienen una curiosa propiedad en común: están alineados.
La recta de Euler de un triángulo es aquella que contiene el ortocentro, el circuncentro y el baricentro del mismo.
Se llama así en honor a Leonhard Euler, ( uno de los grandes de la historia de las Matemáticas), suizo que descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII.
Ortocentro/Alturas.
- Ortocentro: Es el punto de corte de las tres alturas.
- Alturas: Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).
- Creamos un triángulo.
- Utilizamos la opción circunferencia (centro, punto), damos clic sobre cualquier vértice y la abrimos hasta que corte el lado contrario a este vértice, en dos y marcamos los puntos de intersección. Repetimos esta acción con los otros dos vértices y lados. (Si alguna circunferencia no corta en dos al lado, se puede usar una recta auxiliar).
- Creamos un segmento que sea más grande que el que hay entre los dos puntos de intersección.
- Elegimos la opción compás, damos clic sobre el segmento y lo posicionamos sobre uno de los puntos de intersección, repetimos esto pero ahora lo colocamos sobre el otro punto. Repetimos esto con los demás puntos.
- Ponemos puntos en donde estas 2 nuevas circunferencias (azules) se intersectan. Repetimos esto con las demás circunferencias.
- Trazamos rectas por estos puntos.
- Donde estas rectas se unen, es el ortocentro.
Baricentro/Medianas.
- Baricentro: Es el punto de corte de las tres medianas.El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.
- Medianas: Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.
- Creamos un triángulo.
- Creamos un segmento del tamaño que sea.
- Seleccionamos la opción compás, después damos click sobre el segmento y a continuación sobre un vértice. Repetimos esta acción para los otros 2 vértices (las tres circunferencias deben interceptarse, si esto no ocurre, se puede hacer más grande el segmento).
- Ponemos puntos de intersección de las tres circunferencias. (los cuales oculté al final).
- Yo cree segmentos para unir los puntos, después de esto puse puntos de intersección entre el segmento y el lado del triángulo (repetir esto con los otros dos lados). Yo oculté los segmentos.
- Posteriormente cree rectas que pasaran por uno de los puntos y el vértice contrario. Repetimos esto con los otros dos puntos y lados.
- Finalmente, el punto en donde estas rectas se unen es el baricentro.
Incentro/Bisectriz.
- Incentro: Es el punto de corte de las tres bisetrices. Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
- Bisectriz: Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.
- Creamos un triángulo, en este caso yo utilicé la herramienta "polígono"
- Yo cree un segmento pequeño, luego con la opción compás damos click sobre ese segmento (el cual marqué de color naranja), lo cual creará una circunferencia (igual marcada con naranja), esta la llevamos hacia cualquiera de los tres vértices (esta acción se repite en los otros des vértices).
- Marcamos los puntos en lo que se intercepta la circunferencia con los lados los triángulo (igual repetimos esto con las otras 2 circunferencias).
- Creamos otro segmento un poco más largo que el primero (color gris).
- De igual manera seleccionamos compás y damos click sobre el segmento, esta nueva circunferencia la posicionaremos sobre uno de los puntos de intersección que marcamos, en cualquiera; repetimos esto pero ahora sobre el otro punto.
- Estas dos circunferencias se intersectan, marcamos esos puntos.
- Repetimos esta acción en los puntos de intersección sobrantes, luego con las circunferencias igual marcamos sus puntos de intersección y ponemos las otras 2 rectas.
- En donde estas rectas se intersecten pondremos un punto (marcado con rojo) y ese es nuestro incentro.
Circuncentro/Mediatrices.
- Circuncentro: Es el punto de corte de las tres mediatrices. Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.
- Creamos tres puntos.
- Los unimos con segmentos creando el triángulo.
- Creamos un segmento aparte que sea mayor que la mitad del lado más grande del triángulo.
- Vamos a la opción compás y seleccionamos ambos lados del segmento y luego lo colocamos sobre cualquier vértice. Esto se repite para los tres vértices.
- Marcamos los puntos de intersección entre cada circunferencia.
- Ponemos rectas que pasen por estos puntos.
- Marcamos el circuncentro.
- Vamos a la opción compás, hacemos centro en el circuncentro y luego lo dirigimos a cualquiera de los vértices haciendo click sobre este. Así lo comprobamos puesto que el triángulo debe quedar circunscrito.
Construcción de dos triángulos congruentes por el caso LLL.
- Triángulos congruentes LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales los tres lados.
- Creamos el polígono.
- Hacemos un punto apartado y le cambiamos el nombre a: A_1
- Vamos a la opción compás, damos clic sobre A_1 y luego sobre el segmento A-B. Regresamos haciendo centro sobre A_1.
- Ponemos un punto sobre esta circunferencia, a la cual le cambiaremos el nombre a: B_1.
- Regresamos a la opción compás ahora dando click sobre el segmento BC y luego la ponemos sobre el punto B_1.
- De nuevo seleccionamos compás ahora dando click en el segmento AC, y esta la posicionamos sobre el punto A_1.
- Ponemos un punto en donde estas últimas circunferencias se interceptan y le cambiamos el nombre a: C_1.
- Unimos estos tres puntos con un polígono.
- Finalmente nos posicionamos sobre el segmento que queramos, de cualquiera de los dos triángulos (yo elegí AB) damos click derecho y nos vamos a propiedades, seleccionamos "etiqueta visible" y elegimos la que dice "valor". Repetimos esto con los demás lados de ambos triángulos. Así nos cercioramos de que los lados de nuestros triángulos sean iguales, haciéndolos congruentes.
Reconstrucción de un triángulo por el caso LLL
Perpendicular a una recta pasando por un punto.
- Perpendiculares: Son dos o más líneas que se interceptan con un ángulo de 90 grados. Si dos rectas se cortan a 90°, éstas son perpendiculares entre sí.
- Creamos una recta y desparecemos los puntos AB.
- Ponemos un punto en cualquier lugar de la recta, será el punto C.
- Con la opción Circunferencia (centro, radio), la elegimos y luego damos click sobre el punto C, aparecerá un recuadro en el cual ponemos el radio que queramos.
- Colocamos los puntos de intersección entre la recta y la circunferencia.
- De nuevo seleccionamos la circunferencia, debe de ser mayor que la primera y al hacerlo debemos de hacer centro en D y E.
- Colocamos los puntos de intersección de estás últimas dos circunferencias, quedando los puntos F y G.
- Finalmente trazamos una recta que pase por los puntos F y G.
Ángulos congruentes.
- Ángulos congruentes: Dos ángulos congruentes miden lo mismo en grados.
1.-Construimos un ángulo con la amplitud que sea, los creamos haciendo dos segmentos, unidos, los puntos de este ángulo son ABC.
2.-Hacemos una recta y desparecemos los puntos que quedan sobre esta, los cuales son D y E.
3.-Colocamos un punto sobre la recta, en cualquier parte.
4.- Seleccionamos el compás y lo colocamos sobre el segmento que va del punto B al punto C y lo colocamos en el punto que realizamos en la recta. Marcamos el punto de intersección entre la recta y la circunferencia, este nuevo punto será: G.
5.-Con el compás ahora seleccionamos el segmento que va de B hacia A y lo colocamos en el punto F.
6.-De nuevo usamos el compás pero ahora será de A a C, esta circunferencia la ponemos en el punto G.
7.-En el punto en el cual las dos circunferencias se interceptan, hacemos un punto que se llamará: H.
8.-Unimos los puntos con segmentos.
9.-Finalmente damos click en la opción que dice angulo y seleccionamos los puntos, quedando los ángulos congruentes.
Ángulos congruentes.
Mediatriz.
- Mediatriz: La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio. Si tenemos un segmento AB, se denomina mediatriz del segmento a la recta perpendicular a él, que pasa por su punto medio.
1.-Debes crear un segmento nombrando un punto "A" y el otro "B"
2.-Se crea otro segmento menor al primero.
3.-Se crean dos circunferencia del tamaño del segundo segmento, la primera haciendo centro en "A" y el segundo haciendo centro en "B".
4.-Se pone el punto de intersección entre las dos circunferencias.
5.-Finalmente se construye una recta que pase por estos puntos de intersección, la cual tiene por nombre: Mediatriz.
Perpendicular a una recta pasando por un punto fuera de ella.
- Perpendiculares: son dos o más líneas que se interceptan con un ángulo de 90 grados. Si dos rectas se cortan a 90°, éstas son perpendiculares entre sí.
- Creamos una recta.
- Hacemos un punto fuera de la recta con nombre "C".
- Creamos un segmento que será DE este debe ser mayor a la distancia que hay de la recta al punto "C".
- Seleccionamos compás, hacemos click en los dos puntos del segmento DE y después hacemos click sobre el punto "C".
- Ponemos los puntos de intersección entre la recta y la circunferencia, quedando así los puntos F y G.
- Utilizando el compás tocamos el punto C y el punto G, hacemos centro en G.
Repetimos esto pero ahora de C a F haciendo centro en F.
- Ponemos los puntos dónde se interceptan nuestras dos últimas circunferencias.
- Creamos una recta que pasen por esos puntos.
Perpendicular a una recta pasando por un punto fuera de ella.
Segmentos Congruentes.
- Segmentos congruentes: Dos segmentos son congruentes cuando superpuestos coinciden en todos sus puntos. Para ello basta con mostrar que coinciden en sus extremos.
1.-Para poder apreciar mejor nuestro trabajo vamos a "vista algebraica" y ponemos la hoja en blanco.
2.-Ponemos dos puntos a la distancia que sea, estos serán (A y B), luego seleccionamos "segmento" y unimos los puntos.
3.-Luego seleccionamos "recta" y la creamos.
4.-hacemos invisibles los dos puntos que quedan sobre esta.
5.-Creamos un punto sobre la recta.
6.-Ahora vamos a la circunferencia (centro, punto) y seleccionamos el compás, damos click en una parte del segmento que sea mayor a la mitad pero menor a B, luego damos click sobre el punto que creamos en la recta.
7.-Vamos a la opción de intersección y ponemos los puntos donde se interceptan la recta y el círculo.
8.-Hacemos invisible la recta.
9.-Finalmente hacemos un segmento que una estos dos puntos, quedando así segmentos congruentes como se puede ver aquí:
